发生式定义是一种特殊的属加种差的概念定义方式。采用发生式定义的方式能够让学生动态地理解概念的内涵和本质属性，有些发生式定义的概念本身就是一种技能或过程。以《三角形的认识》一课中“三角形的概念”和“高的概念”为例，基于发生式定义的概念的特点，在组织教学时，可以从“精选材料，巧设情境，亲历概念发生过程”、“基于经验，关注细节，感悟技能形成过程”等角度切入，让学生完整经历“发生”、“形成”的过程，深度理解概念内涵，熟练掌握数学技能，提升数学学习的效率。
小学数学教材的概念中，描述式和定义式是最主要的两种概念表示方式。定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法。“属加种差：邻近的属＋ 种差＝ 被定义项”，这是给概念下定义所采用的最常见、最直观和最基本的一种定义方式。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”中，“平行四边形”是被定义项，“四边形”就是邻近的属，“两组对边分别平行”就是种差。
发生式定义又是一种特殊的属加种差的概念定义方式，它并不直接说明种差，而是将一类事物的产生或形成过程作为种差做出定义。如“由3 条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形”这个概念中，“由三条线段围成”这个动态过程就是种差，如何“围成”，就需要让学生经历这个“围”的过程，即三角形概念的“发生过程”，然后利用“每相邻两条线段的端点相连”对种差进行进一步的解释。从概念的内涵上来看，利用“每相邻两条线段的端点相连”来解释“由三条线段围成”这一种差，显得更为精确。从外延上来看，这样定义就排除了那些三条线段组成的但不是首尾相连的情况，明确了外延的边界。有些发生式定义的概念本身就是一种技能或过程，如“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高”，“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线”这一动态的操作过程作为概念的种差，从概念的内涵上来看，这就是“高”这一概念的详细“发生过程”，学生可以依照概念的描述明确画高的具体步骤。从概念的外延上来看，它排除了从顶点出发到对边的其他非垂直线段，保证了高的唯一性，确保了概念定义的科学性。
基于发生式定义的概念具有过程性、技能性的特点，我们在教学相关概念时，就应该思考如何让学生亲历概念的发生过程，如何在学习概念的同时形成相应的技能，让学生通过观察、感知，从具体到抽象，从表象到概念，从感性认识发展到理性认识，从而抽象出教学对象的本质属性，形成正确、合理的概念。下面笔者将结合《三角形的认识》一课，针对“三角形概念”和“三角形高的概念”这两个发生式定义的概念的教学过程谈一些个人的思考。
01
精选材料，巧设情境，亲历概念发生过程
（一）“三角形概念”学情：已有初步感知，无法准确提炼
根据前测和大量的教学经验可知，在学习本课之前学生普遍已经认识三角形的外观特征，并能够画出一个比较标准的三角形，也就是说学生已经能够理解三角形的概念，只是不会用规范的语言进行表达，往往会用“三个角”、“三条边”等三角形的特征来当做三角形的概念。那么在本节课中我们是否需要让学生准确描述三角形的概念？一种观点认为，我们只需要让孩子知道三角形的外观特征，能辨认三角形，会画出三角形，就可以了。至于三角形的概念只是一种人为的规定，无需学生准确描述。另一种观点认为，虽然学生不一定能够说出书上的概念，但是一定要让学生经历用自己的语言表述“三条线段围成的图形就是三角形”这个概念的过程。持第一种观点的理由是，小学阶段的图形与几何版块知识内容属于直观几何范畴，因此没必要让学生完整表述。持第二种观点的理由是，让学生用自己的语言尝试对概念进行初步的描述，能够体会到三角形概念的产生过程，有助于锻炼孩子的表达能力和思维能力，加深对三角形概念的理解，这个过程不可或缺。笔者认为第二种观点更有说服力，因为给数学概念下定义的过程正好是“会用数学的语言表达世界”（史宁中语）的训练良机，数学定义强调语言简洁、准确、严密，在将学生生活语言向数学语言进行改造与转化，培养学生语言概括能力方面有着重要的意义。
（二）常见设计：学生思维散射，无法精确聚焦
那么，常见的教学设计有哪一些呢？以下列举常见的两种。
【设计一】判断图形
1.你认为哪些图形是三角形？
2.这几个不是三角形，那怎样才能变成三角形呢？（课件演示）
3.用自己的话说说怎样的图形是三角形？
4.到底什么是三角形呢？课件出示概念：由三条线段围成的图形（相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。你能看懂这句话的意思吗？
【设计二】画三角形
1.每个学生独立画一个三角形。
（1）生上台演示是怎么画的。（强调：用三角板描和画的区别）
（2）教师范画一个三角形。（强调：围成）
2.形成概念：
（1）观察动画演示围成的过程。出示概念：由三条线段围成的图形叫三角形。
（2）你能用自己的话解释一下“围成”的意思吗？
（3）出示两种定义：三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形。由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。（有什么不一样的地方和一样的地方）（板书：三条线段 围成）
在设计一中，学生能够准确判断哪些是三角形，也知道那些不是三角形的图形如何变成三角形，但是当要学生用自己的话说一说怎样的图形是三角形的时候，课堂就会卡壳了，因为学生觉得三角形就是这个样子，但是用怎样的词语去刻画，却成了难点。一般只能说出三角形的部分特征：有三条边、三个角或者是三个顶点，以此来对三角形进行循环定义，而无法指向教材定义中的关键词“三条线段围成、首尾相接”。显然没有经历三角形的形成过程是重要的原因。
在设计二中，教师的设计意图是通过对学生的不同画图作品进行对比，通过不同的错误比较，让学生发现三角形的定义关键词“三条线段围成、首尾相接”，而事实上却发现学生在画图中不会出现教师所预料的错误，基本都能够准确画出，就算偶尔发现部分学生在画图中发现些许小问题，也能够马上改正。所以虽然让学生动手画了，但是静态的作品没有呈现三角形的形成过程，无法刺激学生的语言表达欲望，因此，也就无法很好地利用学生的作品来达成对概念的理解。
（三） 我的思考：精选材料，巧设情境，亲历概念发生过程
“让学习真正发生”的途径之一就在于满足学生自主建构的内在需求。皮亚杰认为，一切真知都应由学生自主获得，或由他重新发现，至少由他重新建构，而不是草率地传递给他。在上述两种设计的学习过程中，学生对三角形概念的理解是被动的，概念词句由教师单方出示，显得有些突兀。那么，如何才能让学生对三角形的概念有深刻的理解呢？这就需要教师精心选择恰当的材料，创设一个合理有效的情境，引领学生进入自主建构的学习状态，从而成为自己学习和发展的主人。
【设计三】搭三角形
1.用文具搭一个三角形
（1）师：请你利用铅笔搭一个三角形，然后同桌相互说一说是怎么搭的？
（2）师：请你把老师当成一个幼儿园小朋友，告诉老师应该怎么搭？（师在实物投影仪下演示，生在下面用语言指挥）
生：先放一根小棒。（师：同步放一根小棒。）
生：再放一根小棒。（师：故意在旁边平行位置放第二根小棒。）
生：不是这样的，应该要把第二根小棒和第一根小棒连起来。
师：怎么连？
生：头和头碰在一起。（师:故意把两根交叉放在一起。）
生：不能交叉在一起，把头和头连在一起。（师：按照要求放好。）
生：再放第三根。
师：第三根怎么放？
生：其中一头要和第一根连起来，另一头要和第二根连起来。（师：按照要求放好。）
师：也就是说，三根小棒要——（生：围成一圈）也就是要头尾相连。
2.抽象出三角形，形成概念
（1）观察课件演示：把三根小棒搭成的三角形抽象成三条线段围成的三角形。出示概念：由三条线段围成的图形叫三角形。
（2）师：你能用自己的话来说一说线段是怎么围成三角形的吗？（根据学生回答，相机出示：每相邻两条线段的端点相连）
3.特点。三条线段端点首尾相连，6个端点变成3个点，叫做三角形的顶点，三条线段就成了三条边，产生了三个角（板书：三个顶点 三条边 三个角）。
之前的第一稿设计中，教师选择的材料也是小棒，但是让学生上台在实物投影仪下演示搭三角形的过程，学生在自己操作过程中出现的错误无法在台上重现，就无法把关注点聚焦到“三条线段首尾相连”上来，效果打了折扣。后来在改进设计中，教师重新设计了情境，不是让学生上台来展示怎么搭三角形，而是让学生把老师当成幼儿园小朋友，然后指挥老师在投影仪上搭三角形。这个活动的优势就在于，逼迫学生用语言来代替肢体活动，“搭”出三角形。教师在活动中故意装作听不懂的样子，引导学生用“要把两根小棒的头碰在一起”、“两根小棒不能交叉”、“三根小棒要围成一圈”这样的个性化、生活化的语言来达成对“三条线段围成的图形（每两条线段首尾相连）叫做三角形”的理解，教师顺势推出三角形的完整定义，完成从生活化语言到数学化语言的改造。在这个过程中，学生亲历了概念的“发生”，深度理解了概念中的关键词，自此，学生对三角形概念的建构水到渠成。课后对上课班级的学生进行了后测：“用自己的话说一说，你认为怎样的图形是三角形”，超过85%的学生能够表达出“三条线段首尾相连”、、“三条线段头尾连起来”、“围成一个封闭图形”等比较规范的数学信息。
02
基于经验，关注细节，感悟技能形成过程
（一） “三角形的高”学情：概念自成序列，变式较难掌握
学生对高的概念的学习序列如下：点到直线的距离→平行四边形的高→梯形的高→三角形的高→长方体的高→圆柱的高→圆锥的高→……在生活中，学生也已经充分认识了物体的水平面上的“高”。可见在本课学习之前，学生已经有了较为丰富的相关经验，高对学生而言已经不是一个全新的概念。但是三角形的高却一直是学生学习的难点，主要原因是三角形的高有较多的变式。学生容易理解锐角三角形水平底边上的高，但是对锐角三角形另两条斜边上的高比较难理解，也经常会画错。直角三角形的两条直角边上的高也是学生理解难点所在，他们通常会在直角边的旁边再画一条虚线表示高。钝角三角形的两条位于图形外面的高就更难理解了，当然一般的教材中是不要求学生掌握的。
（二） 常见设计：概念感悟不深，技能训练不熟
三角形的高的教学设计有不同的方式，以下列举笔者曾经尝试过的两种。
【设计四】从生活中的高引入
2.你说的高指的是哪里？上台指一指。
3.出示下图：你认为哪一条是三角形的高？为什么这几条不是三角形的高？
4.这条高应该怎么画呢？（课件演示画高）（虚线、直角符号）
课件出示概念：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
【设计五】从平行四边形的高引入
1.接下来，我们还要学习三角形中一个重要的知识，就是高。
2. 在学习三角形之前，我们已经学习了平行四边形的高，出示概念（读一读）。
3.还记得是怎么画的吗？（动画演示，讲解画法：一条直角边和底重合，另一条直角边平移过一点作对边的垂线。）
4.你能根据平行四边形的高的定义，说一说什么是三角形的高吗？画一画。
5.学生作品展示，纠正（虚线、垂直符号）。
6.教师在黑板上示范画法。学生修正。
7.那你能说说什么是三角形的高吗？（试着让学生回答）
8.出示：两种图形的高。
师：观察这两种图形的高，有没有相同之处？（课件：剩下点到对边的垂线）
师：高其实就是“点到对边的垂直线段”。（出示教材截图：点到直线的距离）
9.根据刚才的研究，高就是“点到对边的垂直线段”，那么你认为高可以画几条？
设计四采取了从生活中的高引入的方式，让学生认识三角形的高。其优势在于，学生对生活中的高比较熟悉，能够激发学生的兴趣，但是问题在于生活中的高一般局限于水平面上的高，如何沟通变式，成了这种引入方式存在的一个问题。另外，由于三角形的高是由教师出示的，学生就缺失了“试误—反思—纠正”的学习过程，对高的由来理解不够深刻。
设计五基于学生的知识起点，从平行四边形的高出发，然后和三角形的高进行沟通，理论上来讲学生应该对两种图形的高已经有较为深刻的认识，以此来引入三角形的高也未尝不可，但是从教学实际来看，这样的引入较为繁琐，学生的学习行为更偏向于模仿而非在已有经验上的尝试，两者的沟通花时较多，反而弱化了对三角形高的深刻认识，以及画高技能的必要训练。
（三） 我的思考：基于经验，关注细节，感悟技能形成过程
高的概念的学习，同时也是画高技能的学习，我们教师在教学前应该深入了解不同层次学生的已有水平和能力，准确地把原有水平和能力作为指导他们学习的前提，有效帮助学生自己学会反思、改进、迁移，引导学生真正完成对概念本质的理解。同时也可以借助画高技能的训练，反过来促进对概念的进一步理解，体会概念中多个关键词存在的必要性与合理性，从而感悟高的画法的形成过程。
【设计六】从学生的画高作品引入
1. 选取课件画出的两种三角形比较不同。
师：你觉得两个三角形有什么不同？
生：蓝色的三角形比较高。
师：三角形中一个重要的知识，就是高。回忆以前接触过的高的知识，你能试着画一画吗？
2.老师收集几幅学生作品，依次呈现。
师：第一幅的高画的正确吗？
生：他画的没有和底边垂直。
师：是啊，我们以前学的高都应该和底边互相垂直。那么第二幅呢？应该是互相垂直了。
生：也不对，他没有从最高的地方画起，没有从顶点开始画。
师：是啊，这样就不是三角形的高了。第三幅，对了吗？
生：对。
师：那么高应该怎么画呢？从哪里开始，画到哪里？
生：从顶点开始，画到对边。
师：还应该注意标上垂直符号。
3.课件演示画高过程并同步出示高的定义
（1）根据画高的过程，逐步概括出三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
（2）教师在黑板上示范画三角形的高（让一学生指挥，巩固画高步骤）。
（3）师：如果让你用一句话来概括高的概念，你会怎么说？
生：一条线段。
师：线段的端点在哪？
生：一端在三角形的一个顶点，一端在垂足。
4．联系旧知，形成知识链。
（1）课件隐去三角形的两条边
师：观察三角形的高，你想到以前学过的什么知识了？
生：点到直线的距离。
（2）出示教材截图：点到直线的距离。
师：对，也可以说，三角形的高就是点到对边的垂直线段。
设计六充分尊重了学生已有的活动经验，采取探底的方式，先让学生尝试画三角形的高（部分学生会画水平底边上的高），然后采用分层反馈的方式，让学生从相互垂直、起点终点、符号标记等几个角度逐步感悟到三角形的高的正确画法。同时通过对原有概念进行“缩句”的方式，让学生感悟到高的本质就是一条线段（端点分别在顶点和垂足），然后让三角形的高回归到它的原型——点到直线的距离。从而真正理解概念的本质内涵，顺利掌握三角形高的画法。在后测中发现，运用发生过程描述方式进行学习的学生，比其他班级的学生在画高技能上更胜一筹。
在概念学习中，我们要根据不同的定义方式采取相应的教学方法。发生式定义的概念具有的特征直接决定我们应该引导学生亲历概念的“发生”过程，从而亲近概念、理解概念，引导学生从概念中提炼出操作的流程，在此基础上获得必要的基本技能。
3
想一想
不可能的三角形
彭罗斯三角是不可能的物体中的一种。最早是由瑞典艺术家Oscar Reutersvärd在1934年制作。英国数学家罗杰·彭罗斯及其父亲也设计及推广此图案，并在1958年2月份的《英国心理学月刊》中发表，称之为“最纯粹形式的不可能”。
彭罗斯三角看起来像是一个固体，由三个截面为正方形的长方体所构成，三个长方体组合成为一个三角形，但两长方体之间的夹角似乎又是直角。上述的性质无法在任何一个正常三维空间的物体上实现。这种物件只能存在于一些特定的欧氏三维流形中。
彭罗斯三角虽然是不可能的物体，但是确实存在有三维物体，若在特定的角度下观看时，其看到的图案和彭罗斯三角的二维图案相同。彭罗斯三角可以指不可能的物体本身，也可以指其二维下的图案。
你若盛开 蝴蝶自来
审核人：洪希强 沈敏芳返回搜狐，查看更多