商空间(Quotient space)
In linear algebra, the quotient space of a vector space
V
V
V by a subspace
N
N
N is a vector spapce obtained by “collapsing”
N
N
N to zero. The space obtained is called a quotient space and is denoted
V
/
N
V/N
V/N (read “V mod N” or “V by N”).
定义
令
V
V
V是数域
F
\mathbb F
F上的矢量空间(vector space),
N
N
N是
V
V
V的子空间,即
N
⊆
V
N \subseteq V
N⊆V。我们定义矢量空间
V
V
V上的等价相关(equivalence relation
∼
\sim
∼),写为:
x
∼
y
x \sim y
x∼y if
x
−
y
∈
N
x-y \in N
x−y∈N(That is
x
x
x is related to
y
y
y if one can be obtained from the other by adding an element of
N
N
N)。根据该定义,我们可以推断出:any element of
N
N
N is related to
0
\boldsymbol 0
0。更确切地说,
N
N
N中的所有向量都映射到零向量的等价类(equivalent class)中。
The equivalence class (or in this case, the coset) of
x
x
x is often denoted:
[
x
]
=
x
+
N
[x] = x + N
[x]=x+N
具体的形式:
[
x
]
=
{
x
+
n
:
n
∈
N
}
[x] = \{x+n: n \in N\}
[x]={x+n:n∈N}
The quotient space
V
/
N
V/N
V/N is then defined as
V
/
∼
V/ \sim
V/∼, the set of all equivalence classes induced by
∼
\sim
∼ on
V
V
V.
Scalar multiplication and addition are defined on the equivalence classes by:
α
[
x
]
=
[
α
x
]
∀
α
∈
F
[
x
]
+
[
y
]
=
[
x
+
y
]
\begin{aligned} \alpha [x] &= [\alpha x] \ \ \forall \alpha \in \mathbb F \\ [x] + [y] &= [x + y] \end{aligned}
α[x][x]+[y]=[αx] ∀α∈F=[x+y]
证明: (1)齐次性
α
[
x
]
⇔
α
[
x
]
=
{
α
(
x
+
n
)
:
n
∈
N
}
⇔
{
α
x
+
n
:
n
∈
N
}
⇔
[
α
x
]
\alpha [x] \Leftrightarrow \alpha[x] = \{\alpha(x+n): n \in N\} \Leftrightarrow \{\alpha x+n: n \in N\} \Leftrightarrow [\alpha x]
α[x]⇔α[x]={α(x+n):n∈N}⇔{αx+n:n∈N}⇔[αx]
(2)叠加性
[
x
]
+
[
y
]
⇔
{
(
x
+
n
1
)
+
(
y
+
n
2
)
:
n
1
,
n
2
∈
N
}
⇔
{
x
+
y
+
n
:
n
1
,
n
2
∈
N
}
⇔
[
x
+
y
]
[x] + [y] \Leftrightarrow \{(x+n_1) + (y+n_2): n_1,n_2 \in N\} \Leftrightarrow \{x+y+n: n_1,n_2 \in N\} \Leftrightarrow [x+y]
[x]+[y]⇔{(x+n1)+(y+n2):n1,n2∈N}⇔{x+y+n:n1,n2∈N}⇔[x+y]
这些线性操作使商空间
V
/
N
V/N
V/N变成了数域
F
\mathbb F
F上的一个矢量空间,只是我们需要注意该矢量空间的元素不是一个向量,而是一个等价类。并且我们不难得到,子空间
N
N
N为”0类“(zero class),即
N
=
[
0
]
N = [0]
N=[0]
The mapping that associates to
v
∈
V
v \in V
v∈V the equivalence calss
[
v
]
[v]
[v] is known as quotient map (商映射) 商映射即定义为
v
∈
V
v \in V
v∈V与等价类
[
v
]
[v]
[v]的映射。
强调
!!商空间首先是一个集合,这个集合里边有很多元素,里边的每个元素是一个等价类。如果在商空间上定义函数,那么函数的定义域就是一个等价类,即商空间中的一个元素。另外,可以把商空间
V
/
N
V/N
V/N理解为数域
F
\mathbb F
F上的一个矢量空间,只是我们需要注意该矢量空间的元素不是一个向量,而是一个等价类。
举例
例子-1
令
X
=
R
2
X=\mathbb R^2
X=R2来表示标准笛卡尔平面(Cartesian plane),令
Y
Y
Y为
X
X
X中穿过原点的一条直线,那么商空间
X
/
Y
X/Y
X/Y就是
X
X
X中所有与
Y
Y
Y平行的线(This is to say that, the elements of the set
X
/
Y
X/Y
X/Y are lines in
X
X
X in parallel to
Y
Y
Y)。Note that the points along any one such line will satisfy the equivalence relation because their difference vectors belong to
Y
Y
Y. (<= this gives a way to visualize quotient spaces geometrically.) 对这句话的直观理解如下图所示
直观地理解,上面所描述的商空间就是一个集合,这个集合里的任意一个元素就是与
Y
Y
Y平行的直线。
例子-2
我们考虑矢量空间
R
n
\mathbb R^{n}
Rn与其中一个子空间(例如:m standard basis vectors)的商空间。我们将矢量空间与子空间描述为:
The space
R
n
\mathbb R^{n}
Rn consists of all n-tuples of real numbers
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
(x_1, \cdots, x_n)
(x1,⋯,xn)The subspace, identified with
R
m
\mathbb R^m
Rm, consists of all
n
−
n-
n−tuples such that the last
n
−
m
n-m
n−m entries are zero:
(
x
1
,
⋯
,
x
m
,
0
,
⋯
,
0
)
(x_1, \cdots, x_m, 0, \cdots, 0)
(x1,⋯,xm,0,⋯,0)
不难得到:
x
∼
y
(
x
,
y
∈
R
n
)
⇔
they are identical in the last
n
−
m
coordinates
\boldsymbol x \sim \boldsymbol y (\boldsymbol x , \boldsymbol y \in \mathbb R^n) \Leftrightarrow \text{ they are identical in the last } n-m \text{ coordinates}
x∼y(x,y∈Rn)⇔ they are identical in the last n−m coordinates
另外,商空间
R
n
/
R
m
\mathbb R^{n}/\mathbb R^{m}
Rn/Rm与矢量空间
R
n
−
m
\mathbb R^{n-m}
Rn−m同构(因为商空间
R
n
/
R
m
\mathbb R^{n}/\mathbb R^{m}
Rn/Rm中的每一个元素/等价类内部的所有向量,最后的
n
−
m
n-m
n−m个元素都相同,那么商空间
R
n
/
R
m
\mathbb R^{n}/\mathbb R^{m}
Rn/Rm中的每个元素与矢量空间
R
n
−
m
\mathbb R^{n-m}
Rn−m中的每个向量都一一对应(单射),并且对应到整个
(
n
−
m
)
(n-m)
(n−m)维矢量空间,从而满足满射,所以两个空间的映射关系为双射,因此两个空间同构)。
商空间的性质
从例子-2中,我们可以直接得到:
d
i
m
(
V
/
U
)
=
d
i
m
(
V
)
−
d
i
m
(
U
)
dim(V/U) = dim(V) - dim(U)
dim(V/U)=dim(V)−dim(U)
(后续相关的性质,之后需要的时候再更新)
参考
[1] CSDN上关于商空间的其他介绍 [2] 维基百科