商空间(Quotient space)

In linear algebra, the quotient space of a vector space

V

V

V by a subspace

N

N

N is a vector spapce obtained by “collapsing”

N

N

N to zero. The space obtained is called a quotient space and is denoted

V

/

N

V/N

V/N (read “V mod N” or “V by N”).

定义

V

V

V是数域

F

\mathbb F

F上的矢量空间(vector space),

N

N

N是

V

V

V的子空间,即

N

V

N \subseteq V

N⊆V。我们定义矢量空间

V

V

V上的等价相关(equivalence relation

\sim

∼),写为:

x

y

x \sim y

x∼y if

x

y

N

x-y \in N

x−y∈N(That is

x

x

x is related to

y

y

y if one can be obtained from the other by adding an element of

N

N

N)。根据该定义,我们可以推断出:any element of

N

N

N is related to

0

\boldsymbol 0

0。更确切地说,

N

N

N中的所有向量都映射到零向量的等价类(equivalent class)中。

The equivalence class (or in this case, the coset) of

x

x

x is often denoted:

[

x

]

=

x

+

N

[x] = x + N

[x]=x+N

具体的形式:

[

x

]

=

{

x

+

n

:

n

N

}

[x] = \{x+n: n \in N\}

[x]={x+n:n∈N}

The quotient space

V

/

N

V/N

V/N is then defined as

V

/

V/ \sim

V/∼, the set of all equivalence classes induced by

\sim

∼ on

V

V

V.

Scalar multiplication and addition are defined on the equivalence classes by:

α

[

x

]

=

[

α

x

]

α

F

[

x

]

+

[

y

]

=

[

x

+

y

]

\begin{aligned} \alpha [x] &= [\alpha x] \ \ \forall \alpha \in \mathbb F \\ [x] + [y] &= [x + y] \end{aligned}

α[x][x]+[y]​=[αx] ∀α∈F=[x+y]​

证明: (1)齐次性

α

[

x

]

α

[

x

]

=

{

α

(

x

+

n

)

:

n

N

}

{

α

x

+

n

:

n

N

}

[

α

x

]

\alpha [x] \Leftrightarrow \alpha[x] = \{\alpha(x+n): n \in N\} \Leftrightarrow \{\alpha x+n: n \in N\} \Leftrightarrow [\alpha x]

α[x]⇔α[x]={α(x+n):n∈N}⇔{αx+n:n∈N}⇔[αx]

(2)叠加性

[

x

]

+

[

y

]

{

(

x

+

n

1

)

+

(

y

+

n

2

)

:

n

1

,

n

2

N

}

{

x

+

y

+

n

:

n

1

,

n

2

N

}

[

x

+

y

]

[x] + [y] \Leftrightarrow \{(x+n_1) + (y+n_2): n_1,n_2 \in N\} \Leftrightarrow \{x+y+n: n_1,n_2 \in N\} \Leftrightarrow [x+y]

[x]+[y]⇔{(x+n1​)+(y+n2​):n1​,n2​∈N}⇔{x+y+n:n1​,n2​∈N}⇔[x+y]

这些线性操作使商空间

V

/

N

V/N

V/N变成了数域

F

\mathbb F

F上的一个矢量空间,只是我们需要注意该矢量空间的元素不是一个向量,而是一个等价类。并且我们不难得到,子空间

N

N

N为”0类“(zero class),即

N

=

[

0

]

N = [0]

N=[0]

The mapping that associates to

v

V

v \in V

v∈V the equivalence calss

[

v

]

[v]

[v] is known as quotient map (商映射) 商映射即定义为

v

V

v \in V

v∈V与等价类

[

v

]

[v]

[v]的映射。

强调

!!商空间首先是一个集合,这个集合里边有很多元素,里边的每个元素是一个等价类。如果在商空间上定义函数,那么函数的定义域就是一个等价类,即商空间中的一个元素。另外,可以把商空间

V

/

N

V/N

V/N理解为数域

F

\mathbb F

F上的一个矢量空间,只是我们需要注意该矢量空间的元素不是一个向量,而是一个等价类。

举例

例子-1

X

=

R

2

X=\mathbb R^2

X=R2来表示标准笛卡尔平面(Cartesian plane),令

Y

Y

Y为

X

X

X中穿过原点的一条直线,那么商空间

X

/

Y

X/Y

X/Y就是

X

X

X中所有与

Y

Y

Y平行的线(This is to say that, the elements of the set

X

/

Y

X/Y

X/Y are lines in

X

X

X in parallel to

Y

Y

Y)。Note that the points along any one such line will satisfy the equivalence relation because their difference vectors belong to

Y

Y

Y. (<= this gives a way to visualize quotient spaces geometrically.) 对这句话的直观理解如下图所示

直观地理解,上面所描述的商空间就是一个集合,这个集合里的任意一个元素就是与

Y

Y

Y平行的直线。

例子-2

我们考虑矢量空间

R

n

\mathbb R^{n}

Rn与其中一个子空间(例如:m standard basis vectors)的商空间。我们将矢量空间与子空间描述为:

The space

R

n

\mathbb R^{n}

Rn consists of all n-tuples of real numbers

(

x

1

,

,

x

n

)

(x_1, \cdots, x_n)

(x1​,⋯,xn​)The subspace, identified with

R

m

\mathbb R^m

Rm, consists of all

n

n-

n−tuples such that the last

n

m

n-m

n−m entries are zero:

(

x

1

,

,

x

m

,

0

,

,

0

)

(x_1, \cdots, x_m, 0, \cdots, 0)

(x1​,⋯,xm​,0,⋯,0)

不难得到:

x

y

(

x

,

y

R

n

)

they are identical in the last

n

m

coordinates

\boldsymbol x \sim \boldsymbol y (\boldsymbol x , \boldsymbol y \in \mathbb R^n) \Leftrightarrow \text{ they are identical in the last } n-m \text{ coordinates}

x∼y(x,y∈Rn)⇔ they are identical in the last n−m coordinates

另外,商空间

R

n

/

R

m

\mathbb R^{n}/\mathbb R^{m}

Rn/Rm与矢量空间

R

n

m

\mathbb R^{n-m}

Rn−m同构(因为商空间

R

n

/

R

m

\mathbb R^{n}/\mathbb R^{m}

Rn/Rm中的每一个元素/等价类内部的所有向量,最后的

n

m

n-m

n−m个元素都相同,那么商空间

R

n

/

R

m

\mathbb R^{n}/\mathbb R^{m}

Rn/Rm中的每个元素与矢量空间

R

n

m

\mathbb R^{n-m}

Rn−m中的每个向量都一一对应(单射),并且对应到整个

(

n

m

)

(n-m)

(n−m)维矢量空间,从而满足满射,所以两个空间的映射关系为双射,因此两个空间同构)。

商空间的性质

从例子-2中,我们可以直接得到:

d

i

m

(

V

/

U

)

=

d

i

m

(

V

)

d

i

m

(

U

)

dim(V/U) = dim(V) - dim(U)

dim(V/U)=dim(V)−dim(U)

(后续相关的性质,之后需要的时候再更新)

参考

[1] CSDN上关于商空间的其他介绍 [2] 维基百科